Lenguaje matemático y
desarrollo del pensamiento

POR : ARBEY F. GRISALES GUERRERO y NUMAEL MORA (Director del Postgrado en Pedagogía de la Lectoescritura: Lengua materna y matemáticas de la Universidad del Quindío)

Este ensayo surge de la reflexión y de la experiencia que se viene adelantando tanto en el colegio San José de Armenia, Colegio Rufino J. Cuervo (CENTRO) y en la especialización de pedagogía de la lectoescritura, lengua materna y matemáticas de la Universidad del Quindío; en él se presentan de manera articulada y correlacionada dos áreas, lenguaje y matemáticas, que tradicionalmente generan a los estudiantes muchas dificultades para su aprendizaje. Sólo la investigación profunda y reflexiva tanto en lenguaje como en la matemática, permitirá encontrar propuestas pedagógicas más sólidas que conlleven a mejorar el aprendizaje. Respecto a las matemáticas, se puede comentar que en el país y el mundo se han ensayado diferentes modelos para tratar de resolver el bajo nivel de aprendizaje de los estudiantes, pero sin lograr superar el paradigma de la reproducción de la información. Por ejemplo, en la década del sesenta se impuso el modelo del currículo basado en el enfoque que se llamó matemática moderna, con la presunción de que los estudiantes aprenderían las matemáticas si se les enseñaban los fundamentos propios de la disciplina; desde esta perspectiva se hizo necesario, entonces, enseñar terminología precisa de la matemática (conjuntista y de la lógica formal); tópicos como estructuras matemáticas llenaron los programas desde los primeros años de la escuela. Aunque los estudiantes se volvieron expertos en hablar de los términos más extraños como la asociativa, la modulativa, los anillos... continuaban, y ahora más que nunca, sin resolver los problemas más elementales de aritmética que se presentaban en sus transacciones comerciales diarias.

Otros intentos anteriores al movimiento de la matemática moderna, basados en la necesidad de ligar la matemática a situaciones más realistas, pretendieron resolver el problema enseñando a los estudiantes los contenidos matemáticos a partir de situaciones que hacían parte de su cotidianidad; sin embargo, no se plantearon que para la comprensión de un tópico matemático es indispensable tener en cuenta el nivel de pensamiento desarrollado por los estudiantes. Si bien se hacían operaciones manipulando objetos o refiriéndose a objetos que ellos conocían por ser propios de su medio, las demandas lógicas continuaban estando por encima de su nivel de pensamiento, de tal forma que se veían obligados a aprenderlos de memoria.

El fracaso de todos estos modelos puede explicarse porque, en el fondo, en estos intentos no se modifican las ideas sobre el conocer y el aprender, sino que se mantienen los mismos postulados empiristas que han orientado y siguen orientando la práctica pedagógica; apenas se hacen modificaciones sobre contenidos y metodología y no sobre enfoques que consideren la construcción de conceptos, teniendo en cuenta el nivel de pensamiento de los estudiantes y el papel que juega el lenguaje en el desarrollo de procesos de pensamiento. Por eso sería muy importante utilizar más el lenguaje para la explicitación de conceptos, para la introducción de términos nuevos que representan experiencias, para explicar ciertos principios y su aplicación en diferentes contextos, y para que los algoritmos sean explicaciones prácticas que tengan su base en la conceptualización clara del fenómeno o actividad en estudio. De ahí la importancia de seguir investigando en la potenciación de estrategias tales como:

· Proporcionar herramientas verbales. Es decir, enseñar las palabras necesarias para nombrar acciones, operaciones, relaciones, que permitan la identificación inicial, la identificación de símbolos y finalmente la comunicación de resultados.

· Ir graduando la exigencia hacia el uso de un lenguaje preciso, es decir, utilizar las acepciones matemáticas de las palabras distinguiéndolas de otras acepciones cotidianas pero menos precisas que las mismas.

· Pedir constantemente explicación conceptual de los procesos seguidos para que los estudiantes conceptualicen adecuadamente (argumentación).

· Utilizar problemas matemáticos que incluyan el contexto y personajes conocidos por los estudiantes.

· Pedir a los estudiantes que describan verbalmente los problemas.

· Dialogar con los estudiantes acerca de los conceptos y operaciones antes de que inicien la solución de los problemas o las actividades.

· Estimular a los estudiantes a utilizar la descripción y la explicación tanto de sus aciertos como de sus "errores".

Los aspectos anteriores se enmarcan en el concepto de las matemáticas como un registro, según Halliday (1975), "conjunto de significados para una determinada función del lenguaje, con palabras y estructuras que expresan estos significados". Un registro matemático tiene que ver con el sentido de los significados que pertenecen al lenguaje de las matemáticas y de lo que este lenguaje debe expresar si se utiliza para fines matemáticos. El registro se constituye no sólo por el simple uso de términos técnicos, sino por expresiones e incluso modos característicos de argumentar. El aprendizaje de las matemáticas implica hablar como los matemáticos, es decir, adquirir el dominio del registro, previo proceso que va desde la comprensión pasando por la descripción y la interpretación, hasta la producción apropiada del sentido matemático.

Las dificultades que se encuentran en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas son, en general, problemas de lenguaje. Martín Manuel Socas (1.989 ) advierte que el conocimiento de nuestro lenguaje no bastará para resolver los problemas que plantean las matemáticas, en razón a que esta ciencia tiene su lenguaje propio, reconocido, admitiendo que su sistema de símbolos y terminología no son propiedad de la matemática misma puesto que las palabras tienen para las matemáticas un significado propio y distinto del que se le atribuye a estos términos en la vida cotidiana; por ejemplo, palabras como anillo, grupo, tienen un significado específico y particular en la ciencia de las matemáticas, que difiere del lenguaje ordinario. Con los ejemplos se puede observar la necesidad de aceptar y proponer palabras y reglas que le competen sólo a la matemática y que con el lenguaje habitual no es posible decirlo. Aquí radica la importancia de hablar del lenguaje de la matemática, lenguaje que nos permite describir muchos de los modelos de carácter cuantitativo que suceden a nuestro alrededor y sin el cual sería difícil describir y hacer comprensible la matemática misma.

El autor citado orienta acerca de cómo decidir el momento para introducir el vocabulario y los símbolos apropiados, aunque no niega el papel del lenguaje en la adquisición de conceptos y sus dificultades a pesar del debate sobre el tema entre lingüistas, psicólogos y filósofos cuando se plantea la discusión sobre la relación lenguaje y pensamiento: el proceso lingüístico no es responsable del proceso lógico u operacional; es más bien al revés: el nivel lógico u operacional es posiblemente responsable de un más sofisticado nivel del lenguaje.

Vigotsky, citado por el autor, afirmaba que pensamiento y lenguaje son interdependientes, es decir, que en una etapa del desarrollo del ser humano las líneas del pensamiento y del lenguaje se cruzan pero conservando su dependencia.

Piaget (1954) acepta que puede haber un desarrollo paralelo del aspecto lingüístico y el cognitivo, que quizás están ambos relacionados en el desarrollo del niño con estrategias más generales subyacentes, que dan sentido a la palabra: ¿ primero el pensamiento y después el lenguaje?

En el marco de la polémica sobre la relación lenguaje y pensamiento, el lenguaje oral posee una importancia capital la cual, desde las matemáticas, debe ser aprovechada para que los niños desarrollen las capacidades para escuchar y hablar sobre matemáticas así como para leer y escribir sobre las mismas.

El desarrollo de estas habilidades se acerca a la tesis de que las matemáticas son un lenguaje o en palabras de otros autores, un registro con su sintaxis, su vocabulario, sus símbolos propios, que la identifican como un saber específico. La matemática tiene una notación que le es propia y que en muchos de los estudiantes su puesta en escena genera dificultades para desarrollar opiniones. Por ejemplo, errores como 5X – X = 5 y notaciones como ab en lugar de axb, generan confusiones. El lenguaje escrito de las matemáticas opera desde el nivel semántico, es decir, los símbolos y las notaciones tienen un significado claro y preciso, distinto al existente desde el lenguaje natural, y un nivel sintáctico o de relaciones lógicas de los elementos que conforman una expresión matemática. Aquí las reglas pueden ser operadas sin referencia directa a ningún significado, como en el trabajo simbólico que se desarrolla cuando operamos con inecuaciones o ecuaciones.

Sobre la relación lenguaje natural y lenguaje de las matemáticas es importante subrayar la tarea de los docentes en el sentido de desarrollar competencias descriptivas, analíticas, argumentativas, propositivas, interpretativas, en los estudiantes desde sus contextos, sin olvidar que el lenguaje natural tiene que ayudar a interpretar el lenguaje simbólico y que el lenguaje matemático es más preciso.

Todos los aspectos señalados anteriormente nos indican la necesidad y la importancia de continuar indagando por interrogantes tales como: ¿cómo aprenden los estudiantes los conceptos matemáticos?, ¿qué procesos psicológicos están involucrados al trabajar con las operaciones matemáticas?, ¿cómo desarrollar pensamiento lógico-matemático a través del lenguaje?, ¿cómo utilizar la lúdica en la construcción de conceptos?, ¿cómo incide el contexto en el desarrollo del pensamiento matemático?...

Estos interrogantes direccionan sendas respuestas según los paradigmas desde donde se mire la pregunta. A manera de ilustración, los interrogantes anteriores se podrían discutir desde los siguientes paradigmas: psicogenéticos, sociocultural y cognitivo.

Hoy en día, gran parte de la investigación en la psicología educativa se centra en entender los procesos mentales que están involucrados en la construcción de los conceptos y derivar desde ahí acciones que conlleven al desarrollo del pensamiento de las personas. En este milenio tendrá más oportunidades en su desempeño, quien desarrolle las capacidades del pensamiento.

La preocupación por la investigación del pensamiento es común en disciplinas como la lingüística, la filosofía, la antropología, la psicología y la informática, entre otras; desde el quehacer educativo se persigue la puesta en marcha de acciones pedagógicas globales e interdisciplinarias que afecten la totalidad del pensamiento.

La columna vertebral de la educación debe ser el desarrollo del pensamiento, razón por la cual la importancia de indagar ,entre otros los siguientes interrogantes: ¿por qué enseñar a pensar?, ¿cómo surgen las representaciones mentales?, ¿cuál es el rol de la lúdica en los procesos de pensamiento, básicamente en el niño?, ¿cómo se entiende el conocimiento desde los enfoques cognitivos y particularmente desde el enfoque cognitivo sociocultural?

Sobre el porqué enseñar a pensar existen variadas respuestas, pero se podrían decir que las exigencias del mundo de hoy le están planteando a la escuela la necesidad de equipar a sus estudiantes de los elementos y estrategias básicas para el desarrollo del pensamiento. Esto se entiende si se piensa en el mundo de la información en donde aparece tanto conocimiento que hoy es, pero que en el futuro cercano pierde vigencia porque aparecen nuevos conocimientos y nueva información, que seria imposible de lograr un alto beneficio de acuerdo a los intereses de cada persona si no hay un verdadero desarrollo de las habilidades del pensamiento, que facilite el desarrollo cognitivo desde estrategias metacognitivas. Desde una propuesta tradicional es imposible comprender el mundo de hoy.

Si lo anterior es coherente, es una obligación del contexto escolar enseñar a pensar. La palabra enseñar aquí se emplea con el significado de proceso interactivo y dialógico entre docentes, alumnos y padres.

El pensamiento es una facultad propia del ser humano. Esta facultad que podríamos llamarla silvestre y común a los seres humanos, se enriquece cuando encuentra un contexto apropiado y la escuela tiene esta responsabilidad.

En el quehacer de la escuela de hoy se aprende a leer; se aprenden matemáticas, se aprende química..., pero queda la inquietud, ¿se aprende a pensar desde las disciplinas que ofrece el sistema escolar? Reflexionar sobre estas cuestiones debe ser parte central en los currículos institucionales, si se entiende la importancia del desarrollo del pensamiento crítico, creativo, coherente y propositivo, para las generaciones del futuro cercano y del mundo del mañana.

Es tarea institucional desarrollar las capacidades para establecer relaciones lógicas que propicien el desarrollo del pensamiento y por tanto la construcción comprensiva de conceptos.

La escuela debe construir estrategias dirigidas al desarrollo social para que desde allí se favorezca un mejor desarrollo humano, afectando las dimensiones cognitivas, afectivas, creativas, lúdicas, éticas y estéticas.

Desde las matemáticas las reflexiones anteriores son una responsabilidad y por tanto se pretende con el lenguaje de las matemáticas que los estudiantes comprendan la lógica subyacente en los conceptos matemáticos y puedan desde allí desarrollar su pensamiento lógico-matemático para contribuir con la relación lengua materna y matemáticas al desarrollo de los procesos del pensamiento.

Una explicación al planteamiento que nos ocupa se centra en los postulados de Vigotsky quien afirma que toda operación mental fue inicialmente una actividad interpersonal, la cual llamó la ley genética general del desarrollo cultural. Esta afirmación nos pone en relación con la teoría de la zona del desarrollo próximo del mismo autor y nos acerca a la reflexión sobre la importancia que tienen las relaciones sociales y su contexto, como artífices de las funciones psicológicas superiores (memoria, razonamiento, argumentación, evaluación...)

Desde las matemáticas como disciplina, los primeros conocimientos que los niños adquieren se generan a través del conteo de objetos en donde se da la interacción entre el adulto y el niño. Este proceso es igual con el resto de operaciones elementales. Vale la pena agregar que las operaciones aritméticas se inician como operaciones físicas realizadas por el niño sobre los objetos pero con la guía de un adulto. Estas operaciones se vuelven mentales o intra psicológicas y es entonces cuando el niño puede operar sin ayuda y posteriormente emplear los símbolos que sustituyen los objetos.

Desde el enfoque sociocultural se afirma que el niño no comprende el conocimiento matemático sino que lo reconstruye ya sea abstrayéndolo de sus acciones sobre los objetos (experiencias), de operaciones mentales que realiza o de las representaciones mentales (esquemas), o reconstruyendo el conocimiento generado por la cultura. En cualquiera de los casos el niño es guiado por otra persona en el proceso de reconstrucción. Se trata de crear conciencia del rol del docente para lograr una eficaz enseñanza y aprendizaje de la matemática.

La representación tiene un papel importante en la construcción del conocimiento matemático, pues todas las cuestiones aritméticas tratan sobre objetos, eventos, acciones y de las relaciones entre ellos, de manera tal que el conocimiento matemático es una representación simbólica de las mismas. Las representaciones no se dan de manera automática, sino que el niño tiene que aprender un código en términos del cual representará sus experiencias. Los niños representan sus experiencias aritméticas de distintas maneras: con objetos y acciones concretas, con imágenes visuales y con símbolos. Las representaciones gradualmente se van transformando y pasan a ser representaciones pictóricas y/o simbólicas. También sucede que cuando el niño se encuentra trabajando con símbolos decide hacer una representación pictórica o concreta para poder comprender la operación que está realizando. Todas estas transiciones están mediatizadas por el lenguaje en mayor o menor medida; los niños pasan por tres estadios en el uso de medios de representación, que van desde operaciones con objetos concretos, pasando al uso de representaciones pictóricas y adquiriendo cada vez mayor habilidad para la representación simbólica.

Para la enseñanza de las matemáticas es útil tener en cuenta:

· Al inicio de la enseñanza es necesario enfatizar en el uso de objetos concretos sobre los cuales el niño ejecute físicamente las operaciones y permitirle el uso de los dedos para contar.

· Cuando el niño domine la ejecución de operaciones físicas sobre objetos concretos, se le pedirá de manera gradual que resuelva problemas aritméticos imaginando mentalmente los datos del problema o dibujándolos en su cuaderno.

· Cuando el niño logre lo anterior con cierta facilidad, se le pueden empezar a plantear problemas aritméticos en forma simbólica, es decir, utilizando sólo números y otro tipo de signos.

· Si el niño encuentra dificultades al realizar una operación sería conveniente sugerirle que regrese a otro de los tipos de representación para que comprenda mejor la estructura de la operación que el problema requiere.

 

Para potenciar el desarrollo del lenguaje y las habilidades lectoescritoras desde la pedagogía de la lengua materna y las matemáticas, se ha tomado la propuesta teórica sobre las matemáticas desde los estándares curriculares (N.C.T.M., 1989), y poder adaptarla a la relación lenguaje y matemáticas.

Desde esta adaptación se proponen los siguientes estándares curriculares para el lenguaje y las matemáticas.

1. Potencia del lenguaje. La evaluación del conocimiento matemático de los estudiantes debe dar información sobre su:

· capacidad para aplicar lo que saben a la resolución de problemas dentro del lenguaje: lengua materna y matemática,

· capacidad de utilizar el lenguaje matemático y el lenguaje natural para comunicar ideas,

· capacidad de razonamiento y análisis,

· conocimiento y estructuras conceptuales y procesales,

· actitud hacia las matemáticas y la comunicación verbal y no verbal,

· comprensión de la naturaleza del lenguaje y las matemáticas.

2. Resolución de problemas. La evaluación de la capacidad que tenga el estudiante para utilizar el lenguaje y las matemáticas en la resolución de problemas, debe mostrar evidencia de que son capaces de:

· formular problemas,

· aplicar diversas estrategias para resolver problemas,

· resolver problemas,

· comprobar e interpretar resultados,

· generalizar soluciones.

3. Comunicación. La evaluación de la capacidad de los estudiantes para comunicar debe mostrar evidencia de que son capaces de:

· expresar las ideas hablando, escribiendo, demostrándolas y representándolas visualmente,

· entender, interpretar y juzgar ideas presentadas de forma escrita, oral y visual,

· utilizar vocabulario especifico (según áreas del conocimiento), notaciones y estructuras para representar ideas,

· describir relaciones y moldear situaciones.

4. Razonamiento. La evaluación de la capacidad que tengan de los estudiantes para razonar matemática y lingüísticamente debe ofrecer evidencia de que son capaces de:

· utilizar el razonamiento inductivo para reconocer patrones y formular conjeturas,

· utilizar el razonamiento para desarrollar argumentos plausibles de enunciados,

· utilizar el razonamiento proporcional y espacial para resolver problemas,

· utilizar el razonamiento deductivo para verificar una conclusión, juzgar la validez de un argumento y construir argumentos válidos,

· analizar situaciones para hallar propiedades y estructuras comunes,

· reconocer la naturaleza axiomática de las matemáticas.

5. Conceptos matemáticos y lingüísticos. La evaluación del conocimiento y las estructuras conceptuales de los estudiantes sobre conceptos matemáticos debe ofrecer evidencia de que son capaces de:

· dar nombre, verbalizar y definir conceptos,

· identificar y generar ejemplos válidos y no válidos,

· utilizar modelos, diagramas y símbolos para representar conceptos,

· pasar de un modo de representación a otro,

· reconocer los diversos significados e interpretaciones de los conceptos,

· identificar propiedades de un concepto determinado y reconocer las condiciones que hacen posible un concepto en particular,

· comparar y contrastar conceptos,

· ofrecer evidencia de hasta qué grado han conectado los estudiantes el conocimiento de diversos conceptos,

6. Procedimientos. La evaluación del conocimiento procesal de los estudiantes debe ofrecer evidencia de que son capaces de:

· reconocer cuándo es adecuado un procedimiento,

· argumentar las razones para los distintos pasos de un procedimiento,

· llevar a cabo un procedimiento de forma fiable y eficaz,

· verificar el resultado de un procedimiento empíricamente (por ejemplo y utilizando modelos) o analíticamente,

· reconocer procedimientos correctos e incorrectos,

· generar procedimientos nuevos y ampliar o modificar los ya conocidos,

· reconocer la naturaleza y el papel que cumplen los procedimientos dentro de las matemáticas y la lingüística

7. Actitudes. La evaluación de las actitudes de los estudiantes debe buscar información sobre:

· la confianza que tengan en el uso de las matemáticas y la lengua materna para resolver problemas,

· la forma de comunicar ideas y razonamientos,

· la flexibilidad de pensamiento para explorar ideas y probar métodos alternativos para la resolución de problemas,

· el deseo de continuar hasta el final una tarea,

· el interés, curiosidad e inventiva de los estudiantes en la comprensión y producción de textos,

· la inclinación que demuestren para revisar y reflexionar su propio pensamiento y actuaciones (metacognición),

· la aplicación de lenguajes a situaciones que surjan en la experiencia diaria,

· el reconocimiento del papel que desempeñan los lenguajes en nuestra cultura.

Se espera que esta propuesta sirva de marco para continuar investigando de manera correlacionada en el lenguaje y las matemáticas.

El desarrollo del pensamiento matemático tiene como una de sus estrategias básicas sobre todo en los primeros niveles de escolarización, la utilización de la lúdica.

El juego, tal como lo plantean algunos autores, cumple el papel de generar espacios socializadores, emotivos, relajantes, que crean las condiciones para un mejor aprendizaje, alejado del fantasma del miedo, del autoritarismo y del temor a la equivocación.

Desde esta perspectiva la lúdica en la educación matemática contribuye a:

· Propiciar el desarrollo de la inteligencia mediante el diseño actividades lúdicas que permitan utilizar los conocimientos matemáticos y la capacidad de razonamiento en un ambiente creativo y recreativo.

· Seleccionar algunos juegos que permitan conocer los procesos mentales utilizados por los estudiantes.

· Acercar al estudiante al conocimiento matemático para que el resulte agradable. Por medio de actividades lúdicas podemos encontrar variadas relaciones en las que se deben acordar reglas y seleccionar símbolos para su representación. Sólo un profundo apasionamiento por el trabajo intelectual llevará al estudiantes a crearse la disciplina y la tenacidad que en el futuro necesitará para reflexionar sobre temas más complejos.

· Ayudar a construir conceptos matemáticos. El docente debe conocer ampliamente los esquemas conceptuales que se consolidan al aplicar cada juego.

· Elegir juegos que no sean demasiado difíciles ni demasiado fáciles. El juego debe motivar al estudiante a su ejecución, pero si la actividad es muy compleja no entenderá lo que se propone. El juego debe "jalonar" la inteligencia de las personas.

· Seguir las ideas de los estudiantes y su manera de pensar, incluso cuando éstas parezcan incomprensibles para el docente.

· Intervenir indirectamente en lugar de entrar a corregir respuestas "incorrectas".

· Incluir juegos para que participen varias personas; los grupos no deben ser tan numerosos porque en algunos casos se puede perder el objetivo.

· Disminuir el espíritu de competencia y tratar de hacer claridad en que lo más importante de las actividades lúdicas es que se aprende en un ambiente agradable y de recreación.

Con la propuesta de la lúdica como estrategia se quiere construir un ambiente adecuado que permita la construcción de conceptos y el desarrollo del pensamiento matemático por medio de una propuesta afectiva y emotiva que sirva para desmitificar la falacia del temor a las matemáticas y en su reemplazo, proponer espacios para aprender jugando.

Socas, M. (1989): Iniciación al álgebra. Serie Cultura y Aprendizaje. Editorial Síntesis.

Pimm, D. (1990): El Lenguaje matemático en el aula. Ediciones Morata, S.A.

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Vitgotsky, L (1999): Pensamiento y lenguaje. Editorial Fausto. Buenos Aires.

Reyes-Navia, M. (1998): El Juego, procesos de desarrollo y socialización, Aula abierta. Magisterio.

Alvarez, J (1989): Estándares curriculares y de evaluación para la educación de matemática. Edición en Castellano. Sociedad andaluza de educación matemática. Thales.