Es Elemental: Introducción del Pensamiento Algebraico
Antes de la Enseñanza Media

Por Leslie Blair

Al asistir a la clase de álgebra I de la Sra. Peavey, experimenté el álgebra como millones de otros alumnos, como si fuera un estudio intensivo de las últimas tres letras del alfabeto. No me di cuenta de su importancia ni de que constituye el cimiento de casi todas las matemáticas y una poderosa herramienta para el pensamiento analítico. Era un curso que tenía yo que soportar para llegar a la universidad.

Álgebra para Todos

Treinta años después, el álgebra ya no es sólo para quienes planean asistir a la enseñanza superior, sino para todos. El fundador del Proyecto Álgebra, Robert Moses afirma que en la sociedad tecnológica actual, el álgebra se convirtió en el umbral de la ciudadanía y del acceso económico. Conforme el mundo se torna más tecnológico, el razonamiento y solución de problemas que exige el álgebra son requeridos en diversos ámbitos de trabajo. También vemos evidencias de la creciente importancia del álgebra en las nuevas normas y evaluaciones. Las evaluaciones nacionales y estatales incluyen habilidades algebraicas desde el segundo año de la secundaria y muchos exámenes finales de la enseñanza media evalúan ahora el dominio del álgebra. Parece que el lema de "álgebra para todos" se ha establecido firmemente. El presidente del Consejo Nacional de Maestros en Matemáticas Johnny Lott (NCTM) concuerda: "creo que todos reconocen ya la importancia del álgebra. Es cuestión de cómo la introducen y cuándo", afirma.

James Kaput investigador de la Universidad de Massachussets en Dartmouth cree que si se incluye el álgebra en el plan de estudios desde el preescolar hasta la conclusión del bachillerato, se cumplirá el potencial del álgebra para todos y se eliminará "el elemento curricular mas pernicioso de las matemáticas escolares de la actualidad—los cursos de álgebra de enseñanza media tardíos, repentinos, aislados y superficiales" (Kaput 2000). La idea no es nueva. El mismo, además de otros investigadores y educadores y el NCTM han promovido el álgebra como experiencia en todo ese plan de estudios, integrando el pensamiento algebraico y su razonamiento a todo el plan de estudios de matemáticas.

La investigadora Linda Levi de la Universidad de Wisconsin que ha trabajado desde hace 8 años en un estudio llamado Proyecto de Álgebra Temprana recalca que "no decimos que deba enseñarse álgebra de enseñanza media a alumnos del ciclo elemental". Mas bien ella y sus colegas del Proyecto, Thomas Carpenter y Megan Loef Franke consideran que los maestros deben hacer participar a los alumnos en el aprendizaje de los principios generales de las matemáticas conforme aprenden aritmética y dicen que con frecuencia se ha aislado la aritmética de otra ideas matemáticas afines, lo cual aísla a los alumnos con respecto a eficaces maneras de pensar en las matemáticas y les puede dificultar el aprendizaje del álgebra más adelante. Muchos alumnos que estudian el álgebra en la enseñanza media no ven los procedimientos que se utilizan para resolver ecuaciones o simplificar expresiones como algo basado en las mismas propiedades que ya usaron en los cálculos aritméticos (Carpenter, Franke y Levi, 2003).

Proyecto de Investigación de Álgebra Temprana

Este Proyecto se inició en 1996 bajo la dirección de Thomas Carpenter, que dirigía el Centro Nacional para el Mejoramiento del Aprendizaje y el Aprovechamiento en Matemáticas; Megan Loef Franke profesora asociada de la Universidad de California en Los Angeles y directora del Centro X: Donde la Investigación y la Práctica se Encuentran para el Profesional de Escuela Urbana y Linda Levi investigadora asociada del Centro para Investigación Educativa de Wisconsin. Se derivó del programa de investigación sobre instrucción guiada cognoscitivamente que había iniciado en 1985.

El estudio, cuando se inició en Madison, Wisconsin, implicó aproximadamente a 240 alumnos de enseñanza elemental y sus maestros. Se determinó que un desarrollo profesional innovador y una instrucción en matemáticas redirigida abrían el camino hacia el razonamiento algebraico en los alumnos de escuela elemental.

Ahora se lleva a cabo un programa experimental en mayor escala en Los Angeles, que implica a aproximadamente 5,000 alumnos y maestros de escuelas elementales. El estudio examina los efectos del programa de desarrollo profesional de los maestros, sobre el entendimiento algebraico de los alumnos.

Levi dice que los investigadores ya concluyeron la compilación de datos de aprovechamiento de los alumnos participantes y que concluirán su análisis en 2004.

Explica: "los alumnos llegan a la escuela con un entendimiento muy rico de los números y las operaciones. Tal vez sigan cometiendo errores cuando cuentan, pero pueden resolver muchos problemas aritméticos. Muchos niños llegan al preescolar sabiendo que si se le agrega el cero a un número, el número no cambia, lo que constituye un principio importante en las matemáticas. Y aunque tal vez no puedan escribirlo o leerlo si el maestro lo anota, pueden hablar de ello y de varias cosas que saben que siempre son ciertas en las matemáticas. Levi añade que con frecuencia los maestros no se dan cuenta de lo poderosos que son los patrones o generalizaciones que expresan sus alumnos. Estas expresiones deben verse como oportunidades para comentarios en clase, de modo que todos los alumnos tengan acceso a las ideas. "Como maestros, en realidad es tarea nuestra el entender cómo piensan los niños en las matemáticas cuando llegan a la escuela y luego construir sobre ese entendimiento informal", afirma.

Fomento del Pensamiento de los Alumnos

Según Blanton y Kaput (2003) los maestros deben hallar la manera de apoyar el pensamiento algebraico y crear una cultura en las clases, en la que se valore "el que los alumnos modelen, exploren, comenten, predigan, supongan y pongan a prueba sus ideas, además de practicar sus habilidades de cálculo". Sugieren que los maestros introduzcan el álgebra en el material existente, usando las actividades aritméticas actuales y los problemas redactados, transformándolos de problemas con una sola respuesta numérica a oportunidades de descubrimiento de patrones y realización de conjeturas o generalizaciones sobre hechos y relaciones matemáticas y su justificación. Esto puede ser sencillo, como sería el fomentar en los alumnos el comentario sobre por qué consideran que un enunciado o solución matemática es correcta. Los autores sugieren que los maestros utilicen las siguientes frases como mecanismos para ampliar el razonamiento de los alumnos:

En su estudio piloto con 240 alumnos, Carpenter, Franke y Levi encontraron que los maestros logran iniciar comentarios entre los alumnos y fomentar generalizaciones cuando utilizan frases ciertas o falsas o de número abierto (ejemplos de estas aparecen en el margen "Frases Numéricas para Fomentar las Generalizaciones"). Los alumnos de los últimos años de la escuela elemental pueden aprovecharlo para conducir a una discusión de lo requerido para justificar las generalizaciones.

Frases Numéricas para Producir Generalizaciones

A continuación damos ejemplos de frases que los maestros pueden utilizar para ayudar a los alumnos a articular generalizaciones matemáticas.

EJEMPLOS 78 + 0 = 78; 23 + 7 = 23 *

"Cuando se agrega cero a un número se conserva el número inicial".

EJEMPLOS 96 – 96 = 0; 74 - ____ = 74

"Cuando se resta un número del mismo número, se obtiene 0".

EJEMPLOS 96 x 0 = 0; 43 x 0 = 43*

"Si se multiplica un número por cero se obtiene cero".

EJEMPLOS 65 x 54 = 54 x 65; 94 x 71 = 71 x ____

"Al multiplicar dos números no importa cambiar el orden de ellos".

*denota una frase numérica falsa

Fuente: Centro Nacional para el Mejoramiento del Aprendizaje y Aprovechamiento en Matemáticas y Ciencias (2000). Construcción de un Cimiento para el Aprendizaje del Álgebra en la Escuela Elemental. Noción de Igualdad y Pensamiento Relacional.

La noción de igualdad y pensamiento relacional

Uno de los conceptos principales que Carpenter, Franke, Levi y otros investigadores han mencionado mucho es lograr que los alumnos entiendan que el signo de igualdad representa una relación. Al principio del Proyecto de Álgebra Temprana, los maestros participantes presentaron el siguiente problema a sus alumnos:

8 + 4 = ____ + 5

Ochenta y cuatro por ciento de los 145 alumnos de sexto año participantes dieron la solución al problema como "12". Otro catorce por ciento dio la solución como "17". Al comentar esto, quedó claro que para estos alumnos el signo significaba "llevar a cabo la operación". No habían aprendido que este signo expresa una relación entre los números a cada lado de él. Levi dice que "sugerimos que cuando los maestros inicien el uso del signo de igualdad con los niños, lo usen de manera que fomente un entendimiento de la relación entre dos cantidades y no únicamente como indicación de que debe realizarse la operación. Frases numéricas como 6 = 6 y 8 = 7 + 1 deberán incluirse cuando los maestros inicien la presentación del signo de igualdad".

Este tipo de pensamiento relacional es fundamental para los alumnos que empiezan a aprender el álgebra, pero también refuerza sus habilidades computacionales. "Si uno observa el álgebra en un sentido más general" dice Levi, "lo que realmente busca son los grandes principios y propiedades unificadoras de las matemáticas. En cuanto aprenden a contar, sumar, restar, multiplicar y dividir, los alumnos encuentran estos principios, lo cual hace que sus cálculos sean más eficientes y precisos. Por ejemplo, si comprenden la propiedad distributiva, sus estrategias de multiplicación serán mucho más eficientes y precisas que si están tratando de repetir sumas una y otra vez". Los maestros también pueden dar oportunidades de aumentar las destrezas aritméticas en el contexto del hallazgo y generalización de patrones y relaciones matemáticas.

¿Cómo saben los maestros si los alumnos usan el pensamiento relacional? Levi explica que "finalmente queremos que los alumnos resuelvan un problema como 397 + 248 = 396 + t sin calcular. Al principio los alumnos resolverán este problema sumando 397 y 248 para obtener 645 y después averiguar qué cantidad hay que sumar a 396 para obtener los mismos 645. Pero al final de la escuela elemental, quiero que los alumnos vean la totalidad de la frase y se den cuenta de que porque 397 es 1 más que 396, t tendrá que ser 1 más que 248. Hay relaciones como esta en las restas, multiplicaciones y divisiones también. Quiero que los alumnos comprendan a fondo las operaciones con cantidades conocidas antes de iniciar un estudio formal del álgebra donde muchas de las cantidades son variables o desconocidas".

Por qué importa la comprensión de las igualdades

Los alumnos deberán comprender que la igualdad es una relación que expresa la idea de que dos expresiones matemáticas representan el mismo valor. Es importante que comprendan esta idea por dos motivos: en primer lugar la idea es necesaria para entender las relaciones que expresan las frases numéricas. Por ejemplo, la frase 7 + 8 = 7 + 7 + 1 expresa una relación matemática fundamental en la aritmética. Si un niño dice "no recuerdo cuánto es 7 + 8 pero sí se que 7 + 7 dan 14 y 1 más serían 15", estará expresando una relación muy importante contenida en la frase numérica anterior. Los alumnos que comprendan las igualdades tendrán maneras de representar estas ideas aritméticas y así, podrán comunicar y reflexionar más a fondo sobre estas ideas. Un alumno que tenga muchas oportunidades de expresar y analizar frases numéricas como 17 – 9 = 17 – 10 + 1 tal vez pueda resolver problemas más difíciles, como 45 – 18 si lo expresa como 45 – 18 = 45 – 20 + 2. Este ejemplo muestra las ventajas de integrar la enseñanza de la aritmética con la enseñanza del álgebra. Haciéndolo así, los maestros pueden ayudar a los alumnos a incrementar su comprensión de la aritmética al tiempo que inician el aprendizaje de conceptos algebraicos.

Un segundo motivo para que sea importante la comprensión de las igualdades como relaciones, es que la carencia de este entendimiento es uno de los grandes obstáculos para los alumnos cuando pasan de la aritmética al álgebra (Kieran, 1981 Matz, 1982). Consideremos por ejemplo la ecuación 4 x + 27 = 87. Muchos iniciarían la solución de esta ecuación restando 27 de ambos lados del signo de igualdad. ¿Por qué se puede hacer así? Si el signo significa una relación entre dos expresiones, parece lógico que si dos cantidades son iguales, restando 27 de la primera se debe lograr lo mismo que restando 27 de la segunda. ¿Qué ocurre con los alumnos que piensan que el signo de igualdad significa que deben hacer algo? ¿Qué posibilidades tienen de comprender el motivo de que restar 27 de ambos lados de una ecuación conserva la relación de igualdad? Estos alumnos sólo pueden tratar de memorizar una serie de reglas para resolver ecuaciones. Porque dichas reglas no están fundamentadas en un entendimiento, los alumnos con mucha probabilidad las recordarán incorrectamente y no podrán aplicarlas flexiblemente. Por estos motivos los alumnos deben comprender que el signo es una relación y no una indicación de hacer algo.

Fuente: Falkner, K. P., L. Levi y T:P: Carpenteer (1999). El entendimiento de las igualdades por los alumnos: cimientos para el álgebra. Enseñanza de Matemáticas a los Niños, 6 (1) pag. 234. Reproducido con autorización del Consejo Nacional de Maestros de Matemáticas.

¿Cómo Hacemos para que los Maestros Piensen Algebraicamente?

Los maestros de primaria requerirán desarrollo profesional para integrar el pensamiento algebraico en sus clases, ya que lo común es que hayan experimentado el álgebra como la mayoría de nosotros: como Álgebra I y II en la enseñanza media y superior. Blanton y Kaput (2003) escriben: "estos maestros requieren sus propias experiencias con un álgebra más enriquecida y conectada y un entendimiento de cómo integrar estas oportunidades para sus alumnos".

Un componente crítico del proyecto para el álgebra temprana, ha sido el desarrollo profesional de los maestros participantes. El proyecto les permitió invertir tiempo comentando entre sí las matemáticas y el pensamiento de sus alumnos. Uno de los organizadores del proyecto pidió que los maestros trajeran con ellos ejemplos del trabajo de los alumnos para comentar lo que iban aprendiendo en el proyecto. Estos apoyos pueden lograr mucho en el fomento del desarrollo de los maestros.

En el Aula

"Construcción de un Cimiento para el Aprendizaje del Álgebra"

A continuación damos algunas formas de dar bases para el aprendizaje del álgebra.

Deben plantearse preguntas que den idea del entendimiento de los alumnos sobre conceptos matemáticos importantes. Por ejemplo, sus respuestas a la frase numérica 9 + 6 = ___ + 8 nos dicen mucho sobre cómo entienden el signo de igualdad. Deben explorarse los motivos de sus respuestas, preguntándoles por qué contestaron como lo hicieron.

Dar a los alumnos oportunidades de comentar y resolver conceptos diferentes de ideas matemáticas. Por ejemplo, conceptos diferentes del signo de igualdad que surgen de las soluciones de los alumnos a la frase numérica abierta 9 + 6 = ___ + 8 que pueden ser punto de partida para comentarios productivos.

Dar a los alumnos ecuaciones que les ayuden a comprender que el signo de igualdad representa una relación entre números, no una indicación de realizar la operación. Los ejemplos incluirían ___ = 8 + 9, 8 + 6 = 6 +9 + 6 = ___ + 8. Se pueden variar los formatos de las frases e incluir otras en la que la respuesta no llega directamente después del signo de igualdad.

Dar a los alumnos frases falsas y ciertas que pongan a prueba sus conceptos erróneos sobre el signo de igualdad (ej. 8 = 5 + 3, 9 = 9, 7 – 4 = 7 – 4).

Dar a los alumnos problemas que les fomenten las generalizaciones sobre propiedades numéricas fundamentales (ver "Frases Numéricas para Provocar Generalizaciones".) Cuando den una respuesta a uno de los problemas, debe preguntárseles cómo saben que su respuesta es correcta. A menudo eso provocará que enuncien una generalización como "un número restado de sí mismo produce cero". Cuando enuncien una generalización como esta, debe preguntarse por ejemplo "¿sucede igual con cualquier número?"

Debe hacerse que los alumnos justifiquen sus generalizaciones o las de sus compañeros. La justificación de las generalizaciones exige más que dar muchos ejemplos (ej. 8 x 5 = 5 x 8). Si se espera que los alumnos justifiquen sus afirmaciones se les ayuda a adquirir destrezas en la presentación de argumentos y pruebas matemáticas. Utilice las preguntas "¿sucede igual con cualquier número?" y "¿cómo sabes que sucede igual con todos los números?" repetidas veces para fomentar el que reconozcan que en las matemáticas es necesarios justificar las afirmaciones.

Reproducido de Matemáticas y Ciencias del Preescolar a la Enseñanza Media: consideraciones sobre la enseñanza (Otoño del 2000), publicado por el Centro Nacional para el Mejoramiento del Aprendizaje y aprovechamiento en Matemáticas y Ciencias. Centro Wisconsin para la Investigación en Educación, Madison Wisconsin.

Referencias y lecturas sugeridas

Blanton, M. L., & Kaput, J. J. (2003). Developing elementary teachers' "algebra eyes and ears." Teaching Children Mathematics, 10(2).

Carpenter, T.C., et al. (1999). Children's Mathematics: Cognitively Guided Instruction (with two multimedia CDs). Portsmouth, NH: Heinemann.

Carpenter, T. C., Franke, M. L., & Levi, L. (2003). Thinking Mathematically: Integrating Arithmetic and Algebra in Elementary School. Portsmouth, NH: Heinemann.

Falkner, K. P., Levi, L., & Carpenter, T. P. (1999). Children's understanding of equality: A foundation for algebra. Teaching Children Mathematics, 6(1).

Kaput, J. J. (2000). Transforming algebra from an engine of inequity to an engine of mathematical power by "algebrafying" the K-12 curriculum. Dartmouth, MA: National Center for Improving Student Learning and Achievement in Mathematics and Science. (ERIC Document Reproduction Service No. ED 441 664).

Moses, R. P., & Cobb, C. E. (2001). Radical Equations: Math Literacy and Civil Rights. Boston: Beacon Press.

National Center for Improving Student Learning & Achievement in Mathematics & Science. (2000). Building a foundation for learning algebra in the elementary grades. In Brief: K-12 Mathematics & Science Research Implications, 1(2).

National Council of Teachers of Mathematics. (1999). Algebraic thinking: Grades K-12. Reston, VA: NCTM.